Можно ли обвенчаться без регистрации в ЗАГСе?

Невозможно, потому в данном случае речь идет о незарегистрированном браке, то есть о сожительстве. Сожительство считается блудом.

Этой теме посвящен документ «О канонических аспектах церковного брака», принятый Архиерейским Собором Русской Православной Церкви. В нем говорится, что мужчина и женщина, состоящие в незарегистрированном браке, могут обвенчаться только в особом случае по благословению правящего архиерея.

Если Вы считаете, что у Вас тот самый случай, Вам нужно письменно обратиться к своему правящему архиерею. Конкретно Вам нужно обращаться к митрополиту Казанскому и Татарстанскому Феофану (почтовый адрес Казанского епархиального управления: 420111, Россия, Республика Татарстан, г. Казань, ул. Карла Маркса, д. 9/15).