Здравствуйте, Викторина!
Ситуация в Абхазии, действительно, очень сложная. Священная митрополия Абхазии не признана ни одной Поместной Церковью, и, насколько мне известно, законных епископов в митрополии не было. Принимать участие в Таинствах, совершаемых священниками, запрещенными в служении, православный христианин не имеет права, однако посещать святое место ему никто не запрещает.
В данном случае уместно провести аналогию с посещением православными католических храмов в Европе, в которых находятся общехристианские святыни. Православные верующие не участвуют в богослужениях в католических храмах — они лишь поклоняются святыням. Подобная ситуация сложилась и на Украине: Владимирский собор в Киеве, в котором пребывают святые мощи великомученицы Варвары и священномученика Макария Киевского, захватили раскольники — филаретовцы. По благословению Священноначалия Русской Православной Церкви православные посещают этот храм, однако в молитве и богослужении они не участвуют. Они только поклоняются святыням, после чего покидают церковь.